Двоичная система счисления

Как известно, двоичный код – это способ представления данных в виде кода, в котором каждый разряд принимает одно из двух возможных значений, обычно обозначаемых цифрами 0 и 1, «0» это выключенное состояние, а «1» это включенное состояние. Единицу информации, которая может содержать в себе одно из двух возможных состояний, называют бит.

Бит (русское обозначение: бит; международное: bit; от англ. binary digit — двоичная цифра; также игра слов: англ. bit — кусочек, частица) — единица измерения количества информации. 1 бит информации — символ или сигнал, который может принимать два значения: включено или выключено, да или нет, заряженный или незаряженный. Бит может описывать не обязательно дискретные значения, а например, противоположные границы диапазонов или просто два чего-нибудь. Например, холодный или горячий, белый или чёрный, высокий или низкий, красный или синий. Понятно, что в диапазоне или наборе бывают и какие-то промежуточные значения. Но в бите их нет, возможны только два.

Любой двухпозиционный переключатель представляет собой физическое воплощение бита.

Двоичные коды являются комбинациями двух элементов и не являются двоичной системой счисления, но используются в ней как основа. Двоичный код также может использоваться для кодирования чисел в системах счисления с любым другим основанием. Например, в двоично-десятичном кодировании (BCD) используется двоичный код для кодирования чисел в десятичной системе счисления.

Используя два двоичных разряда можно закодировать четыре различные комбинации: 00 01 10 11, три двоичных разряда — восемь: 000 001 010 011 100 101 110 111, и так далее.

В двоичной системе счисления в качестве основы используется именно такой двоичный код, в нём всего две цифры – это 0 (ноль) и 1 (единица). В десятичной системе цифр десять – 0123456789, в шестнадцатеричной – шестнадцать: 0123456789ABCDEF, в восьмеричной – восемь: 01234567, а в двоичной всего две – 0 и 1. Перечисленные системы счисления являются позиционными. Это значит, что позиция, в которой стоит цифра в числе, очень важна. От позиции (разряда) цифры зависит, сколько именно цифра означает. Например, в числе 1 единица означает 1 :) В числе 12 единица означает уже 10, в числе 123 – сотню, а в 1 000 000 – аж миллион. Это в десятичной. А в двоичной системе чтобы посчитать, сколько значит единичка в определённой позиции, нужно посчитать, сколько будет 2^{позиция - 1}. 1 в первой позиции означает 2^1-1=2⁰=1. Единичка во второй позиции 2^2-1=2¹=2, в третьей – 2^3-1=2²=4, в 4-й – 2^4-1=2³=8 и т.д. Получается ряд степеней двойки: 1,2,4,8,16,32,64,128,256…

Чтобы последовательно записывать числа в десятичной системе, нам нужно постепенно перебирать цифры сначала в первом разряде, потом, когда все переберём, то переходим к следующему разряду. Сначала перебираем одноразрядные числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Всё, цифры для первого разряда закончились. Тогда ставим на второй разряд первую значащую цифру 1 и снова начинаем перебирать первый разряд: 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19. Всё, опять приехали. Перещёлкиваем во втором разряде 1 на 2 и снова начинаем перебирать первый разряд. И так далее. В результате мы доходим до числа 99. Затем переходим к третьему разряду и снова перебираем сначала первый разряд, потом увеличиваем на 1 второй, снова перебираем первый и т.д. Таким образом постепенно перебираем все возможные числа от 0 до ∞ :)

Ну да что я вам тут рассказываю, как детсадовцам…

А как быть, когда цифры всего две? 0, потом 1 и всё. То есть одним разрядом можно закодировать всего два числа. Первый разряд окончен, переходим ко второму. Ставим во второй разряд единицу и снова перебираем первый разряд: 10, 11. Всё :) То есть если у нас есть два разряда, то мы можем закодировать 4 числа: 00, 01, 10, 11. Переходим к третьему разряду: 100, 101, 110, 111. Значит, с тремя разрядами мы можем закодировать всё, что было раньше и ещё 4 числа, итого 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Для четырёх разрядов получается 16 чисел: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111. Для пяти разрядов – 32 числа, для шести – 64, для семи – 128, для восьми – 256. Короче, при увеличении разрядности позиционного двоичного кода на 1, количество различных комбинаций в позиционном двоичном коде удваивается.

В общем, мы вернулись к нашему ряду: 1,2,4,8,16,32,64,128,256

Как будут выглядеть восьмиразрядные двоичные числа?

• 00000000
• 00000001
• 00000010
• 00000011
• 00000100
• 00000101
• 00000110
• 00000111
• 00001000
• 00001001
• …
• 11111000
• 11111001
• 11111010
• 11111011
• 11111100
• 11111101
• 11111110
• 11111111

О таком бинарном представлении чисел я уже неоднократно писал, например, в той же сказке про ёлочки, и ещё не раз буду к нему возвращаться.

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т.д.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора.

Двоичные коды и двоичная система счисления неявно применялась и применяется во многих местах. Например, в китайской Книге перемен диграммы, триграммы и гексограммы, да и сам инь-янь – самые что ни на есть бинарные коды. Азбука Морзе, индейская письменность кипу, Булева алгебра, логика, программирование, компьютерная техника и всё с этим связанное – это лишь малая часть, где задействован двоичный код и основанная на нём двоичная система счисления.

На страницах сайта я уже неоднократно обращался к бинарным кодам и двоичной системе счисления, поэтому логично собрать здесь в одном месте все эти упоминания:

• Игра NBIN
• Бинарные часы
• Сказка о том, как я за ёлками ходил
• Бинарные изображения
• Космические послания
• Производственный календарь