Пятеричная система счисления

Представьте, что у вас на руке всего пять пальцев. Я думаю, это легко сделать, даже если их другое количество :) Именно этот простой и естественный счетный инструмент стал основой одной из древнейших систем счисления — пятеричной. Иногда её называют квинтильной или пентальной.

Пятеричная система счисления — это позиционная система с основанием 5, то есть в ней используются всего пять цифр: 01234. Каждая позиция числа имеет вес, увеличивающийся в пять раз при движении влево: единицы, пятерки, двадцатипятерки и так далее. Например, число `432` в пятеричной системе означает `107` в десятичной:

• `432_5 = 4*5^2 + 3*5^1 + 2*5^0 = 107_10`

Возникновение пятеричной системы счисления напрямую связано с анатомией человека. Когда наши далекие предки нуждались в счёте, самым доступным инструментом были пальцы рук. Естественным шагом стало использование пальцев одной руки для счёта до пяти, после чего счёт начинался заново или переходил на другую руку.

По свидетельству исследователя Африки Стэнли, у ряда африканских племен была распространена именно пятеричная система счисления. Долгое время пользовались этой системой и в Китае. Наибольшее распространение пятеричная система получила в Америке, а в чистом виде сохранялась у некоторых племен Полинезии и Меланезии вплоть до недавнего времени.

В Древнем Китае пятеричная система не была основной для записи чисел, но оставила заметный след в вычислительных инструментах.

Счётные палочки: Для математических вычислений китайцы использовали счётные палочки, которые размещались на специальной доске. Чтобы отличить 21 (два десятка и одна единица) от 12 (один десяток и две единицы) без разделителей, китайцы придумали гениальный трюк. В нечётных разрядах (единицы, сотни, десятки тысяч) палочки клали вертикально, а в чётных (десятки, тысячи, сотни тысяч) — горизонтально. Это позволяло мгновенно считывать число одной оглядкой, не теряясь в длинных рядах. По факту система была, конечно, десятичной, но применялся принцип, основанный на группировке по пять, что помогало в визуализации чисел и упрощало арифметические действия.

Китайские счёты (суаньпань): Наиболее яркий след пятеричной системы — это устройство китайских счётов (или счёт), история которых насчитывает более 2500 лет. Они имеют две секции: верхнюю («небо») и нижнюю («земля»). В классическом варианте на каждой спице в верхней секции находится две косточки, каждая из которых обозначает пятёрку. Нижняя секция содержит пять косточек, каждая из которых обозначает единицу. Такая конструкция позволяет наглядно оперировать пятёрками при счёте.

У майя пятеричная система стала фундаментом для их сложной календарной системы.

Для записи Майя использовали два базовых символа: точку, обозначающую единицу, и горизонтальную черту, обозначающую пятёрку. Из этих элементов они комбинировали цифры от 1 до 19. Например, число 7 записывалось как черта (5) и две точки (2), а число 19 — как три черты (15) и четыре точки (4).

В «долгом счёте» календаря майя была использована разновидность двадцатеричной системы счисления, в которой второй разряд мог содержать только цифры от 0 до 17, после чего к третьему разряду добавлялась единица. Таким образом, единица третьего разряда означала не 400, а 18 × 20 = 360, что близко к числу дней в солнечном году.

На изображении выше 5 чисел (сверху вниз): 8-5-16-9-7. Если посчитать дни, то получим:

• 8*144000+5*7200+16*360+9*20+7*1 = 1193947 дней.

Начальная точка отсчёта — мифическая дата Сотворения мира, которая, по расчётам учёных, соответствует 13 августа 3114 года до н.э. по григорианскому календарю (есть варианты — 11 августа). Таким образом, на стелле майя была «выбита» дата 13 июля 156 г. н.э.

Общая система была довольно сложная, но способ записи первых девятнадцати чисел был чисто пятеричным.

Римская система счисления — один из самых известных примеров, где следы пятеричной системы видны наиболее отчетливо. Римские цифры — это ранняя двоично-пятеричная система, так называемый «биквинарий».

• Один из основных знаков римской системы - V, обозначающий число 5, предположительно произошел от изображения раскрытой ладони. Это прямое указание на счет по пальцам одной руки.

• Система построена вокруг ключевых чисел: 1 (I), 5 (V), 10 (X), 50 (L), 100 (C), 500 (D), 1000 (M). Все числа до четырех записываются повторением единиц (II, III), а для обозначения четырёх используется принцип вычитания (IV = 5 - 1), чтобы не писать четыре палочки подряд (хотя иногда на часах с римскими цифрами пишут IIII вместо IV). Наличие специального знака для пяти и его производных (50, 500) однозначно указывает на то, что основание 5 было важным элементом этой системы.
• Происхождение: Интересно, что в латинском языке нет следов пятеричного счета, что позволяет историкам предположить, что сами цифры были заимствованы римлянами у другого народа, вероятно, у этрусков.

Аттическая нумерация, распространённая в Древней Греции до появления алфавитной (ионийской) системы, по своему строению очень близка к римской.

• Символ для пятёрки и «пенте»: Число 5 обозначалось знаком Γ (или Π), который был древним начертанием буквы «пи» и являлся первой буквой греческого слова «пенте» — «пять». Поэтому эту нумерацию ещё называют «акрофонической». Это свидетельствует о том, что название числа стало основой для его символа.

• Комбинаторный принцип: Как и в Риме, числа 6, 7, 8, 9 записывались как комбинации символов для 5 и 1: ΓΙ, ΓΙΙ, ΓΙΙΙ и ΓΙΙΙΙ соответственно. Символ для 10 (Δ) был первой буквой слова «дека» («десять»), а числа 50,500,5000,5000 обозначались как символ Г с расположенным внутри символом для 10,100,1000 и 10000. То есть шло умножение на пятёрку.
• Исследователь Леви Леонард Конант в своей работе «Понятие числа» отмечает, что греческое слово «пемпазейн» (считать по пятёркам) также указывает на древнюю пятеричную традицию у предков греков.

Таким образом, хотя пятеричная система и не стала доминирующей в этих великих культурах, она повсеместно служила важным промежуточным звеном, облегчая счёт и запись чисел. Она проявлялась в графике символов (римская V, греческая Γ, знак — у майя), в устройстве вычислительных приборов (китайский абак) и в структуре более сложных систем, выступая в роли естественного «кирпичика» для построения чисел на основе счёта по пальцам одной руки.

Надо сразу сделать важную оговорку: в современном русском языке (как и в большинстве европейских языков) почти не осталось устойчивых выражений, которые напрямую и однозначно намекали бы именно на пятеричную систему, потому что наш язык давно перестроился под десятичную модель. Однако если копнуть глубже — в архаичные пласты лексики, диалекты, фольклор и этимологию, — то такие «окаменевшие» следы можно найти. Вот самые яркие примеры:

В русском языке слово «пятерня» означает не просто пять, а именно ладонь или кисть руки с растопыренными пальцами. В современном мире распространён жест «дай пять» или «дай пятюню», но это вообще не имеет никакого отношения к пятеричной системе счисления :). Тем не менее это не отрицает того, что пять пальцев на руке использовались для подсчёта. Выражение: «Можно пересчитать по пальцам одной руки» в переносном смысле означает «очень мало». Это выражение — архетипический след пятеричного мышления, где пятерня – пять пальцев одной руки – выступает единицей измерения количества.

В древнерусской системе гривен существовала единица «пять» или «пятица».

В новгородских берестяных грамотах встречается термин «пяток» (5 шкурок куниц). Само слово «пяток» (связка из 5 шкурок) было устойчивой товарной единицей. Позже это слово трансформировалось в единицу счёта для других предметов: «пяток яиц», «пяток луковиц». До сих пор в диалектах и разговорной речи можно услышать «купить пяток огурцов» (то есть 5 штук), что является прямым пережитком счёта пятёрками, в отличие от «десятка».

В традиционных русских народных играх и промыслах часто использовался счёт на пятёрки и для этого было специальное слово: пятерик.

Пятерик - старая русская мера (счёта, веса, объёма и т.п.), содержащая в себе пять каких-либо единиц, а также предмет, состоящий из пяти частей. Например:

• верёвка пятерик — сплетённая из пяти прядей;
• куль пятерик — вмещающий пять пудов чего-либо;
• гиря пятерик — весом в пять фунтов;
• упряжка из пяти лошадей в одной запряжке;
• в карточных играх существует термин «пятерик» (игральная карта, бьющая пять козырей, или ставка в пять монет).

В плотницком жаргоне «счёт на пять» это финальная сумма, которую им должны заплатить за проделанную работу (например, рубку дома). Иногда это выражение может использоваться и в другом контексте — как сигнал, что пора подводить промежуточные итоги (например, «подбиваем счёт на пять» — значит, пора считать, что сделано, а что нет).

Есть гипотеза (правда, не бесспорная), что древнерусское слово «пясть» (кисть руки, ладонь с пятью пальцами), тоже связано с древним счётом пятёрками.

Отдельно стоит упомянуть выражение «пятая точка» (задница). Хотя это звучит как анатомический след пятеричного счёта, на самом деле лингвисты расходятся во мнениях.

• Теория точек опоры. Одна из самых популярных версий. Считается, что у человека четыре основные точки опоры (две ноги и две руки), а пятая — это ягодицы. Они служат опорой, когда мы сидим, а при падении назад человек тоже касается земли «пятью точками» (ногами, руками и попой).
• Анатомическая теория. Если прислонить человека спиной к стене, тело коснётся поверхности в пяти точках: затылок, лопатки, ягодицы, икры и пятки. Из всех этих «точек» именно ягодицы в обиходе часто называли «пятой» точкой, чтобы не произносить более прямое и оттого более смущающее слово.
• Танцевальная теория. По этой версии, термин появился в XVI веке в теории танцев. Тогда «пятой точкой» могли обозначать место на теле ниже спины — возможно, из-за особенностей движений, где в работу включались разные зоны.
• Другие, менее распространённые версии. Встречаются и более экзотичные предположения. Например, некоторые проводят аналогию с древнеегипетской пирамидой: четыре угла основания символизируют конечности, а верхняя часть — ягодицы. Или связывают происхождение с военной терминологией (например, «пятая точка регулировки подвесной системы парашюта»), но эта версия вызывает сомнения у специалистов.

Какая из теорий ближе к истине — точно не скажет никто. Мне больше всего нравится и понятна первая версия. В любом случае выражение давно вышло за рамки узких профессиональных кругов и стало распространённым эвфемизмом. Но вряд ли имеет какое-то отношение именно к счёту пятёрками.

В чистом виде устойчивые выражения, закрепляющие именно математическое основание «5» (как, скажем, у нас есть «дюжина» для 12), в русском языке почти исчезли. Но лингвистические «окаменелости» в виде слов «пяток» (как мера), «пятерня» (как счётный инструмент) и фразы «по пальцам одной руки» являются самыми яркими доказательствами того, что когда-то наши предки активно пользовались этим способом группировки чисел.

• Квинтильная система счисления используется в некоторых редких языках индейцев Латинской Америки и аборигенов Австралии: в гуматдже, нунггубую, куурн-копан-нут, луисеньо, саравеке.
• Двоично-пятеричная система используется в волофском и кхмерском языках.
• В некоторых диалектах осетинского и чеченского языков до сих пор сохранились счетные слова для связок предметов по пять, а устойчивое выражение, дословно переводимое как «вся пятерня в сборе», означает полную семью или команду, где каждый член на счету.
• Упоминавшаяся ранее римская цифра V (пятерка) в некоторых устойчивых латинских выражениях сохранилась в аббревиатурах, например «V» ставилось вместо 5 в юридических и военных списках. В современном французском языке жест «распахнутая пятерня» (означающий «стоп» или «ничего») до сих пор называется «faire un cinq» (сделать пятерку).
• В старогерманских рунах число 5 обозначалось руной, означающей «рука». В устойчивых выражениях типа «to take five» (сделать перерыв на 5 минут) — изначально это сленг бейсболистов начала XX века, но лингвисты прослеживают связь с более древней традицией отсчитывать время на пальцах одной руки.
• В изобретённой недавно записи цифр для 20-ричной системы счисления кактовик осуществляется группировка по пять элементов, что напоминает китайский и мяйанский принцип аналогичной группировки пятёрками.

Интересно, что многие исследователи предполагали: пятеричная система была изначальной для всех народов, а десятичная и двадцатеричная возникли позже как её развитие (счёт на двух руках и на руках с ногами соответственно). Однако это не подтверждается: у многих племен Австралии и Южной Америки использовалась двоичная система, а у некоторых народов не было числовой базы вообще.

Сегодня пятеричная система не используется как основная система счисления в повседневной жизни или в компьютерных науках, где доминируют двоичная (для компьютеров) и десятичная (для людей) системы. Однако её следы можно найти в некоторых областях:

• В математическом образовании учителя используют пятеричную систему как инструмент для объяснения принципов позиционных систем счисления. Переход от пятеричной к десятичной помогает ученикам глубже понять, как устроены системы счисления вообще.
• В технологиях пятеричные числа находят ограниченное применение в системах с пятью состояниями, например, в некоторых схемах передачи данных и обработки информации, где они могут использоваться для обнаружения и коррекции ошибок.
• В молекулярной биологии количественная ПЦР (полимеразная цепная реакция) иногда использует пятиуровневую классификацию результатов для упрощения категориального анализа данных.
• В культурных и языковых реликтах — следы пятеричного счета сохранились в названиях некоторых денежных единиц (пятицентовые монеты) и в устойчивых выражениях.

Пятеричная система счисления — это яркий пример того, как простой человеческий опыт (счёт на пальцах одной руки) породил целую математическую традицию, распространившуюся по всему миру. Хотя сегодня она уступила место десятичной системе, её историческое значение трудно переоценить. Она показывает, как наши физические особенности — в данном случае строение руки — формировали развитие абстрактного мышления и математики, и в этом смысле пятеричная система остаётся важной главой в истории человеческой мысли.